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오늘날 폴리아라는 이름은 문제해결력을 대표하고 있다. 그러나 문제해결에 관심을 가졌던 사람은 폴리아가 아니다. 폴리아는 자신이 문제해결에 좀 더 진지한 관심을 갖게 된 것은 오일러 때문이었다고 회고하고 있다. 오일러는 다른 수학자와는 달리 그 자신이 결과를 어떻게 구했는지 설명하고 있었고, 설명은 폴리아 자신의 경험과 매우 흡사했다는 것이다.

폴리아는 자신이 문제를 해결해 왔던 경험을 주의 깊게 분석해 본 뒤 모든 문제의 해결은 문제 이해(Understanding the problem), 계획 수립(Devising a plan), 계획 실행(Carring out the plan), 반성(Looking back)의 4단계를 거쳐야 한다고 결론지었다. 그는 이러한 문제해결의 4단계는 또 학생들의 문제해결 능력을 신장시킬 수 있는 좋은 방법이 될 수 있다고 보고 있다.

문제 이해란 문제가 요구하고 있는 것이 무엇인지 파악하는 단계이다. 여기에는 문제의 언어적 표현에 대한 이해는 물론, 문제의 주요 부분 즉, 미지인 것, 자료, 조건 등에 대한 명확한 지적을 할 수 있어야 하는 것도 포함된다. 문제를 이해하기 위해서는 문제를 주의 깊게 반복해서, 그리고 여러 측면에서 살펴보아야 하고 필요하면 ‘그림을 그린다.’거나 ‘적절한 기호를 붙여야 한다.’

계획 수립이란 미지인 것을 구하기 위해 어떤 계산이나 작도를 해야 할 것인가를 알게 되는 단계이다. 인생에 있어서도 계획을 짜서 실천을 해야 하는 것은 마찬가지이다. 계획에 대한 생각은 점진적으로 떠오를 수도 있고 또 오랜 망설임 끝에 섬광같이 떠오를 수도 있다.

폴리아에 의하면 이러한 생각들은 대게 과거의 경험과 이전에 얻은 지식을 바탕으로 적절한 사실 즉, ‘관련된 문제, 내용, 정리’등을 회상함으로써 가능하다. 그러나 그 외에도 계획수립에는 훌륭한 사고 습관, 목적을 향한 집중력 그리고 행운까지 따라야 한다.

계획 수립이 일종의 윤곽을 제시하는 단계인 반면, 계획 실행이란 세부적인 것이 그 윤곽에 들어맞는다는 것을 확인하는 단계이다. 즉, 모든 것이 아주 명확해 지도록 차례차례 점검하는 단계이다. 이러한 점검은 지루하고 반복적인 계산을 필요로 하기 때문에 학생은 인내심을 가져야 할 필요가 있다.

반성이란 완성된 풀이를 검토하고, 그 결과와 그 결과에 이르게 된 과정을 재고하고 재검사하는 단계이다. 반성이란 매우 중요하고 교훈적인 단계로, 획득한 지식을 견고하게 하고 문제를 해결하는 능력을 발달시킬 수 있는 단계이다. 이러한 반성의 단계를 통해 오류를 찾아 고칠 수 있고, 풀이를 개선하라 수 있으며, 또 자신의 이해를 보다 깊게 할 수 있다.

문제 해결이란 실제적 기능으로 모방과 연습에 의해 습득된다. 따라서 학생들은 다른 사람들의 문제를 풀 때 발견술이 어떻게 이용되는지를 관찰하고 모방해 봄으로써 그리고 실제 자신들이 발견술을 이용하여 문제해결을 연습해 봄으로써 마침내는 문제를 해결하는 방법을 배우게 된다.

교사는 학생들이 문제해결을 배우는 과정에서 발견술을 잘 이용하도록 적절한 발문과 권고를 해야 한다. 교사의 이러한 지도에 힘입어 학생들은 발견술의 올바른 사용법을 알게 되고 또 그렇게 함으로써 단편적인 수학적 지식보다도 더 중요한 사고의 참 맛과 발견의 기쁨을 맛 볼 수 있게 되는 것이다. 이상에서 밝힌 바와 같이 인생살이도 처음 계획단계에서 시작해서 살아온 과정을 정지하고 스스로 평가해 보는 것이 가장 중요하다.

이정재 <주교육대학교 前 총장>